Всего: 326 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
обозначен факториал числа n, то есть произведение всех целых чисел от 1 до n включительно (определен только для целых неотрицательных чисел; 0! = 1).
не подходят, а 
даёт верное равенство. При каждом дальнейшем увеличении k на 2 выражение 
увеличивается хотя бы 
Поэтому при 
левая часть больше правой. 
Отметим на стороне AB такую точку D, что 
В силу симметрии, отрезки MC и ND пересекаются в некой точке P, причём 
Из симметрии также следует, что 
(т. к. 
из неравенства треугольника); 
откуда 
поскольку 
то 
или, что то же самое, 
невозможно. Противоречие.
то есть 1 заменяется на 8,2 на 7, 4 на 5 и наоборот. Например, число 42 718 находится в паре с числом 57 281. Это разбиение хорошо тем, что сумма цифр в каждой паре равна 45 (потому что сумма двух цифр в каждом разряде равна 9). 
А количество пар — 
и сумма цифр в каждой из них — 45. Общая сумма цифр равна 
На координатной плоскости нарисовали равнобедренный треугольник ABC: AB = 2016, BC = AC = 1533, причем вершины A и B лежат в узлах на одной горизонтали. Определите, сколько узлов лежит в треугольнике ABC (включая узлы, лежащие на сторонах). Узлом называется точка координатной плоскости, у которой обе координаты целые.
поскольку узлы, находившиеся на оси симметрии, продублировались.
Внутренние части половин полностью покрывают прямоугольник, при этом 22 узла, находящиеся в этих половинах, совпали. Поэтому количество узлов в прямоугольнике на 22 меньше, чем в двух половин ах, то есть 
В то же время это количество, очевидно, равно 
Значит, 
Для дальнейшего решения несущественно, какое из чисел A и B больше: возможно и равенство. Независимо от этого отрезок, ограниченный числами A и B, будем обозначать AB (в случае 
он вырождается в точку). 
пересекается (хотя бы по одной точке) с отрезком АB. Действительно, если для какого-то отрезка 
это не так, то он расположен либо целиком слева, либо целиком справа от AB. В первом случае 
но это противоречит определению числа B как наименьшего из 
во втором случае 
но и это аналогичным образом невозможно. Точно так же можно спроецировать прямоугольники н вертикальную ось, получив отрезки 
Мы обнаружим, что если 
то каждый отрезок пересекается с отрезком CD.
из предыдущего рассуждения). 
т. е. не меньше 64) правая координата не меньше A1 левая не больше B, верхняя не меньше C, а нижняя не больше D. 
Аналогично доказывается, что он пересекает прямые 
Очевидно, из этого следует что он содержит все четыре точки (A, C), (A, D), (B, C), (B, D). Требуемый прямоугольник найден.
Заметим, что 
поэтому 
Назовем типичным любой прямоугольный параллелепипед, все размеры которого (длина, ширина и высота) различны. На какое наименьшее число типичных параллелепипедов можно разрезать куб? Не забудьте доказать, что это действительно наименьшее количество.
разрезается на параллелепипеды 
— простое число.
даёт остаток 2 от деления на 3, а 
даёт остаток 1 от деления на 3, поэтому сумма делится на 3 (и больше трёх при 
При 
результат равен 3, то есть является простым числом; 
то 
при ⩾ 3).
и 
Докажите, что треугольник BEC равносторонний.
тогда 
откуда 
следовательно, 
тогда треугольник BEF равносторонний. 
и 
поэтому 
Значит, треугольник BAF равнобедренный. Его угол против основания равен 
В игре «сет» участвуют всевозможные четырехзначные числа, состоящие из цифр 1, 2, 3 (каждое число по одному разу). Говорят, что тройка чисел образует сет, если в каждом разряде либо все три числа содержат одну и ту же цифру, либо все три числа содержат разные цифры. Сложностью сета будем называть количество таких разрядов, где все три цифры различны.
Например, числа 1232, 2213, 3221 образуют сет сложности 3 (в первом разряде встречаются все три цифры, во втором — только двойка, в третьем — все три цифры, в четвертом — все три цифры); числа 1231, 1232, 1233 — сет сложности 1 (в первых трех разрядах цифры совпадают, и только в четвертом все цифры различны). А числа 1123, 2231, 3311 вообще не образуют сета (в последнем разряде встречаются две единицы и тройка).
Сетов какой сложности в игре больше всего и почему?
соответствует шести упорядоченным: 
Каждый такой сет может начинаться произвольным числом a (81 вариант). В этом числе нужно выбрать k разрядов
способов выбора) и в каждом из них заменить цифру на одну из двух отличных от неё (2k способов). В результате получим число b, которое однозначно определяет сет. Итого получаем 
упорядоченных сетов сложности k. 
для разных k, получаем: 
Как видим, наибольшее количество сетов имеет сложность 
Каждая клетка доски 1000 × 1000 покрашена в синий или белый цвет. Назовем клетку равновесной, если среди ее соседей поровну синих и белых. Можно ли раскрасить доску так, чтобы на ней было более 600 000 синих равновесных клеток? (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону).
клеток доски.
и 
(Эта линия синусоида; впрочем, этот факт не используется в решении.) Интересующая нас фигура — пересечение двух вертикальных полос с «синусоидальной» — состоит из двух равных частей. Площадь каждой части вдвое больше ширины синей полосы, что нетрудно установить, переставив криволинейный треугольник, как показано на последнем рисунке. А ширина синей полосы — это длина дуги, найденная ранее. 
В игре «сет» участвуют всевозможные четырехзначные числа, состоящие из цифр 1, 2, 3 (каждое число по одному разу). Говорят, что тройка чисел образует сет, если в каждом разряде либо все три числа содержат одну и ту же цифру, либо все три числа содержат разные цифры. Сложностью сета будем называть количество таких разрядов, где все три цифры различны.
Например, числа 1232, 2213, 3221 образуют сет сложности 3 (в первом разряде встречаются все три цифры, во втором — только двойка, в третьем — все три цифры, в четвертом — все три цифры); числа 1231, 1232, 1233 — сет сложности 1 (в первых трех разрядах цифры совпадают, и только в четвертом все цифры различны). А числа 1123, 2231, 3311 вообще не образуют сета (в последнем разряде встречаются две единицы и тройка).
Сетов какой сложности в игре больше всего и почему?
Том и Джерри бегают друг за другом по трассе в виде восьмёрки (см. рис.). Они бегут в одном направлении и с постоянными скоростями. В начальный момент Джерри был точно над Томом. Через 20 минут Том оказался точно над Джерри, причём ни один из них не успел пробежать трассу полностью. В момент, когда Джерри пробежал ровно один круг с начала пути, Том наконец догнал его. Сколько времени Том гнался за Джерри?
Если обозначить 
через x, то получим: 
откуда 
Решая квадратное уравнение (и учитывая, 
минут, а весь круг — за 
минут. Тут-то Том его и догнал.
минут.Двое играют в такую игру. Они по очереди называют четырёхзначные числа, у которых нет нулей в записи, а сумма цифр делится на 9. При этом каждое следующее число должно начинаться с той же цифры, на которую кончается предыдущее, например: 3231 — 1539 — 9756 — 6561 ... Повторять числа нельзя. Тот, кто не может назвать очередное число, проигрывает. Кто из игроков — начинающий или его соперник — может выиграть независимо от игры другого?
названное вторым, называет число 
то же самое число «задом наперёд». Заметим, что после этого второму опять придётся назвать число, которое начинается на 9. Первый игрок всегда может сделать ход, ведь подходящих чисел вида 
(кроме 9999) больше нет.
Далее, поскольку малый треугольник подобен большому, то 
как показано справа.
точек, причём никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре — на одной окружности. Докажите, что существует окружность, проходящая через три из этих точек, внутри которой лежит 
точек и снаружи — тоже 
На доске 8 × 8 клеток можно расположить несколько доминошек (то есть прямоугольников из двух клеток), не накрадывающихся друг на друга. Пусть N — количество способов положить так 32 доминошки, а S — количество способов положить так 16 доминошек. Что больше — N или S? Способы, которые получаются друг из друга поворотом или отражением доски, считаются различными.